Вычислительные машины и системы

                         ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР

                           ЛЕКЦИЯ N 1

                    2ОСНОВЫ МАШИННОЙ АРИФМЕТИКИ

            2Системы счисления и способы перевода чисел

                    2из одной системы в другую.

     Системой счисления называют систему приемов и правил, позво-

ляющих устанавливать взаимно-однозначное соответствие между любым

числом и  его  представлением в виде совокупности конечного числа

символов. Множество символов, используемых для такого представле-

ния, называют цифрами.

     В зависимости от способа изображения чисел  с  помощью  цифр

системы счисления делятся на  1позиционные 0 и  1непозиционные 0.

     В  1непозиционных 0 системах любое число определяется как  неко-

торая функция от численных значений совокупности цифр,  представ-

ляющих это число.  Цифры в непозиционных системах счисления соот-

ветствуют некоторым  фиксированным  числам.  Пример непозиционной

системы - римская система счисления. В вычислительной технике не-

позиционные системы не применяются.

     Систему счисления называют  1позиционной 0,  если одна и  та  же

цифра может  принимать различные численные значения в зависимости

от номера разряда этой цифры в совокупности цифр,  представляющих

заданное число. Пример такой системы - арабская десятичная систе-

ма счисления.

     В позиционной  системе  счисления любое число записывается в

виде последовательности цифр:

          A =  7+ 0 a 4m-1 0 a 4m-2 0 ... a 4k 0 ... a 40 0 , a 4-1 0 ... a 4-l 0         (I)

     Позиции, пронумерованные  индексами k (-l < k < m-1) называ-

ются разрядами числа. Сумма m+l соответствует количеству разрядов

числа (m - число разрядов целой части числа, l - дробной части).

     Каждая цифра a 4k 0 в записываемой последовательности может при-

нимать одно из N возможных значений.  Количество  различных  цифр

(N),  используемых  для  изображения  чисел в позиционной системе

счисления,  называется основанием системы счисления.  Основание N

указывает,  во сколько раз единица k+1 -го разряда больше единицы

k -го разряда,  а  цифра a 4k 0 соответствует количеству единиц k -го

разряда, содержащихся в числе.

     Таким образом, число может быть представлено в виде суммы:

(A) 4N 0 =  7+ 0(a 4m-1 0N 5m-1 0 + a 4m-2 0N 5m-2 0 +...+ a 40 0 + a 4-1 0N 5-1 0 +...+ a 4-l 0N 5-l 0) (II)

     Основание позиционной системы счисления определяет ее назва-

ние. В вычислительной технике применяются двоичная, восьмеричная,

десятичная и шестнадцатеричная системы.  В дальнейшем, чтобы явно

указать используемую  систему счисления,  будем заключать число в

скобки и в индексе указывать основание системы счисления.

                              - 2 -

     В двоичной  системе счисления используются только две цифры:

0 и 1.  Любое двоичное число может быть представлено в  следующей

форме:

 (A) 42 0 =  7+ 0(a 4m-1 02 5m-1 0 + a 4m-2 02 5m-2 0 + ... + a 40 0 + a 4-1 02 5-1 0 + ... + a 4-l 02 5-l 0)

     Например, двоичное число

(10101,101) 42 0 = 1*2 54 0+0*2 53 0+1*2 52 0+0*2+1+1*2 5-1 0+0*2 5-2 0+1*2 5-3 0 = (21,625) 410

     В восьмеричной  системе счисления для записи чисел использу-

ется восемь цифр (0,1,2,3,4,5,6,7), а в шестнадцатеричной - шест-

надцать (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F).

Таблица для перевода чисел из одной системы счисления в другую.

──────────────┬──────────────────┬──────────────┬────────────────

   Двоичные   │   Восьмеричные   │  Десятичные  │  Шестнадцате-

    числа     │      числа       │    числа     │  ричные числа

──────────────┼──────────────────┼──────────────┼────────────────

      0,0001  │        0,04      │      0,0625  │       0,1

      0,001   │        0,1       │      0,125   │       0,2

      0,01    │        0,2       │      0,25    │       0,4

      0,1     │        0,4       │      0,5     │       0.8

      1       │        1         │      1       │       1

     10       │        2         │      2       │       2

     11       │        3         │      3       │       3

    100       │        4         │      4       │       4

    101       │        5         │      5       │       5

    110       │        6         │      6       │       6

    111       │        7         │      7       │       7

   1000       │       10         │      8       │       8

   1001       │       11         │      9       │       9

   1010       │       12         │     10       │       A

   1011       │       13         │     11       │       B

   1100       │       14         │     12       │       C

   1101       │       15         │     13       │       D

   1110       │       16         │     14       │       E

   1111       │       17         │     15       │       F

  10000       │       20         │     16       │      10

──────────────┴──────────────────┴──────────────┴────────────────

     Для хранения и обработки данных в ЭВМ используется  двоичная

система, так как она требует наименьшего количества аппаратуры по

сравнению с другими системами.  Все остальные  системы  счисления

применяются только для удобства пользователей.

     В двоичной системе очень просто выполняются арифметические и

логические операции над числами.

                              - 3 -

     Таблица сложения:

     0 + 0 =  0

     0 + 1 =  1

     1 + 0 =  1

     1 + 1 = 10

     Таблица умножения:

     0 * 0 = 0

     0 * 1 = 0

     1 * 0 = 0

     1 * 1 = 1

     Многоразрядные числа складываются,  вычитаются, умножаются и

делятся по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.

     Перевод числа из одной системы в другую выполняется по  уни-

версальному алгоритму,  заключающемуся в последовательном  2делении

 1целой 0 части числа и образующихся  1целых частных 0 на 2 основание 0 новой

системы счисления,  записанное  2в исходной  0системе 2  0счисления,  и в

последующем  2умножении 0  1дробной 0 части и  1дробных частей 0 получающихся

 1произведений 0 на то же основание,  записанное   2в 0  2 исходной  0системе

счисления.

     При переводе   1целой 0 части получающиеся в процессе последова-

тельного деления остатки представляют цифры целой части  числа  в

новой системе  счисления,  записанные  цифрами  исходной  системы

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12