Примеры задач оптимизации, связанных с фундаментальными понятиями теории связи

Но из непрерывности функции следует равенство пределов слева и справа в любой точке ее области определения. Например, на левом краю области определения для непрерывного сигнала y(t) справедливо равенство

y(t-0) = y(t + 0), t = 0.

Так как вне отрезка функция y(t) считается равной 0, справедливость условия (3.40) очевидна. Что касается свободного конца t=T/2, то в силу теоремы 3.3 о подвижных концах (см. § 3.2) применительно к функционалу (3.38) можем записать соответствующее ограничение

,

или

(3.42)

Уравнение Эйлера для функционала (3.38) фактически уже рассматривалось нами в близкой задаче примера 3.1, оно имеет вид

y”+λy=0, а его решение, содержащее две произвольные постоянные,-

.

Воспользовавшись (3.40), запишем

.

Таким образом,

Для определения восполь­зуемся условием (3.42) (с учетом того, что с1 = 0):

,

откуда

,… (3.43) Следовательно,

, (3.44)

где с2 и целое число k пока не определены. Отыскание амплитуды с2 не представляет труда и может быть легко осуществлено с помощью подстановки (3.44) в условие норми­ровки энергии импульса y{t) (3.39).

Несколько сложнее найти число k. Чтобы выделить из семейства экстремалей (3.44) кривую, которая действительно соответствует минимуму функционала (3.38), обратимся к до­статочным условиям сильного минимума, приведенным в § 3.3. Условие «а» выполнено, ибо все кривые семейства (3.44) — экстремали. Для проверки условия «б» составим дифферен­циальное уравнение Якоби (3.16), которое в данном случае принимает вид

,

т. е. совпадает по форме с уравнением Эйлера рассматриваемой задачи. Его общее решение

, а решение, обращающееся в 0 на левом конце,

. (3.45)

Для выполнения условия ”б” необходимо, чтобы функция не обращалась в ноль ни в одной точке отрезка (0,Т/2), кроме точки t=0. легко проверить, что среди всех значений удовлетворяющих (3,43), только случаи k=0 и k= -1

удовлетворяют этому условию. Более «высокочастотные»

(k=1, ±2, ±3, .) синусоиды (3.45)

обладают дополнительными нулями на

отрезке (0, T/2). Подставив k=0 в (3.44), получим единственную кривую, на которой может быть реализован минимум (3.38), (3.46)

— полуволну синуса1. Чтобы доказать, что (3.46) действительно является решением нашей задачи, покажем, что выполняется и последний (третий) пункт «в» достаточных условий. Дейст­вительно,

Определение константы с2, как уже говорилось, не вызывает затруднений, она равна. График импульса с минималь­ной эффективной шириной спектра показан на рис. 3.12.

В заключение разъясним, в чем трудность исследования функционала (3.37), в котором y(t) рассматривается на всем отрезке [0, Т ]. Разумеется, уравнения Эйлера и Якоби, а также их решения имели бы тот же самый вид, который описан выше. Но добиться успеха с помощью пункта «б» достаточных условий, которыми мы воспользовались, по-видимому, оказа­лось бы невозможным. Действительно, условие Якоби не выполняется, так как решение уравнения Якоби (3.45) в точке t=T равно 0 в случае k = 0: ио = 0 при k = 0. Значит, не существует ни одного целого числа k, при котором пункт «б» был бы выполнен. И хотя при этом не нарушается необходимое условие Якоби (см. замечание 3.3 в конце § 3.3), вопрос о том, реализуется ли минимум функционала (3.37) на какой-либо из кривых (3.44), остается открытым.

Замечание 3.5. Задача минимизации полосы частот, занимаемой импульсным сигналом при использовании энерге­тического критерия (I (формула (3.27)), также приводит к им­пульсу округлой формы, напоминающему сигнал рис. 3.12. Однако в этом случае форма оптимальной функции y(t) оказывается зависящей не только от длительности Г, но и от ширины интервала концентрации энергии (0,), точнее, произ­ведения T [26].

1	2	3

Copyright © Radioland. Все права защищены.
Дата публикации: 2008-04-09 (0 Прочтено)