Примеры задач оптимизации, связанных с фундаментальными понятиями теории связи

рис.3.11

и т. д. Практически это означает, что спектры сигналов конечной продолжительности обладают бесконечной протяжен­ностью и, следовательно, принципиально неустранимыми внеполосными излучениями. Спектр прямоугольного импульса y(t)=1,0≤t≤T, является в достаточной степени типичным (рис. 3.11). Другими словами, не существует частотного диапазона, внутри которого поместился бы целиком спектр прямоу­гольного (да и любого другого) импульса. Вместе с тем ясно, что внеполосные излучения в зависимости от формы импульса могут обладать большей или меньшей интенсивностью.

Существуют различные способы оценки внеполосных излучений. Пожалуй, наиболее распространенный из них — энергетический, при котором интенсивность внеполосных излучений характеризуется величиной (см. (3.3)). В случае низкочастотного рабочего диапазона частот критерий ( за­пишем в виде

(3.27)

Задаче минимизации величины посвящена значительная литература [26]. Отметим, что для минимизации отношения (3.27) переходят обычно к иной, эквивалентной, задаче. Полагая

(3.28)

решают вопрос о максимизации энергии импульса y(t) в ра­бочей полосе частот

(3.29)

Напомним, что в силу теоремы Рэлея Парсеваля спра­ведливо следующее равенство для энергии сигнала:

3.30

поэтому условие (3.28) эквивалентно следующему:

3.31

Вариационную задачу максимизации (3.29) при условии (3.31) сводят к решению так называемого интегрального уравнения [22] относительно неизвестной функции y{t). Изложение достигнутых здесь интересных и важных ре­зультатов требует, однако, использования достаточно сложного математического аппарата. В связи с этим используем другой подход к минимизации внеполосных излучений, для чего введем понятие об эффективной ширине спектра, аналогичное дисперсии распределения вероятностей. Попы­таемся перенести характеристики законов распределения ве­роятностей случайных величин на спектры сигналов. Пред­полагая, что выполняется условие (3.28), будем рассматривать неотрицательную функцию

,

как плотность распределения вероятностей p()некоторой случайной величины. Так как модуль спектра произвольного вещественного сигнала является четной функцией частоты (см. § 1.2, свойство 1), т. е.

то среднее значение этой случайной величины равно нулю:

а ее дисперсия

3.23

Положительную величину назовем эффективной шириной спектра сигнала y(t),0≤t≤T, и поставим вопрос о минимизации , или, что эквивалентно, минимизации . При этом в качестве дополнительного условия примем

равенство (3.28), которое отражает известное свойство интег­рала от плотности распределения вероятностей (он равен единице). В дальнейшем, однако, будет удобнее использовать эквивалентное (3.28) равенство (3.31).

Здесь уместно напомнить, что дисперсия характеризует степень сосредоточенности плотности p() вокруг ее среднего значения. Чем меньше дисперсия, тем более «узким» является график функции p(). В принципе эта функция в пределе при переходит в 5-функцию (для сигналов y(t) конечной продол­жительности последнее невозможно). Это обстоятельство и обо­сновывает применение теоретико-вероятностного критерия — дисперсии к оценке ширины полосы частот, занимаемой сигналом y(t).

Выражение (3.32) преобразуем таким образом, чтобы пред­ставить его как функционал от y(t). Для этого проведем следующие вспомогательные рассуждения, относящиеся к фор­муле обратного преобразования Фурье:

(3.33)

Продифференцируем обе части равенства (3.33) по t: (3.34)

Применим теперь теорему Рэлея—Парсеваля к сигналу y’(t),0≤t≤T,. С учетом (3.34) получим

(3.35)

Сравнив равенства (3.32) и (3.35), запишем

Для минимизации функционала (3.36) при ограничении (3.31) составим вспомогательный функционал

(3.37)

Сделаем упрощающее предположение (оно облегчит, как мы увидим, проверку достаточных условий минимизации): импульс y(t) обладает четной симметрией относительно середины отрезка [О, T] — точки t=T/2. Тогда задачу минимизации

функционала (3.37) можно заменить задачей минимизации функционала

(3.38)

при условии

(3.39)

Правый конец отрезка [О, Т/2 ] будем считать свободным, т. е. предполагать, что у{Т/2) может принимать любые зна­чения. Что касается левого края интервала — точки t = 0 (равно как и симметричной относительно центра точки t=T), то здесь определенно можно сказать, что y(0)=0, (3.40) хотя в самой постановке задачи нет никаких указаний отно­сительно поведения y(t) на концах. Однако одно важное обстоятельство с необходимостью приводит к условию (3.40). Дело в том, что для сходимости интеграла

а значит, и существования конечной величины (см. (3.32)) требуется, чтобы функция убывала достаточно быстро при. Напомним известный результат: если сигнал y(t), , имеет разрывы, его спектр убывает на бесконечности как; если этот сигнал непрерывен, его спектр убывает на бесконечности как; если сигнал непрерывен и имеет непрерывную первую производную, то характер убывания спектра при определяется функцией, и т. д. [22]. В нашем случае для сходимости интеграла (3.31) достаточно потребовать, чтобы квадрат модуля спектра убывал как 1/||4 при (или убывал как 1/||). Это означает, что импульс должен быть непрерывным.

1	2	3