Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре

LU = LU = (L1 +L2)U  , где LaU = d2U   , a=1,2

dx2

Область G0a =G0 = {0<= xa <=la , a=1,2} -прямоугольник со сторонами l1 и l2, Г - граница G0 = G0 + Г.

В G0 построили равномерную по xa сетку vh с шагами h1 = l1/N1 , h2 = l2/N2. Пусть nh - граница сеточной области wh, содержащая все узлы на сторонах прямоугольника, кроме его вершин, vh = wh + nh.

Оператор La заменим разностным оператором La:

Lay = yxaxa     ,     L = L1 + L2

В случае одномерного уравнения теплопроводности неявная схема на каждом слое приводит к разностной краевой задаче вида:

Aiyi-1  - Ciyi  + Biyi+1 = -F   , i=1,...,N-1

y0=m1                                                                                                                                 (2)

yn=mN

Ai > 0, Bi > 0, Ci > Ai + Bi

которая решается методом прогонки.

Рассмотрим теперь нашу двимерную задачу в прямоугольнике. Сетку vh можно представить как совокупность узлов, расположенных на строках i2=0,1,2,...,N2, или как совокупность узлов расположенных на столбцах i1=1,2,...,N1. Всего имеется N1+1 столбцов и N2+1 строк. Число узлов в каждой строке равно N1+1, а в каждом столбце N2+1 - узлов.

Если на каждой строке (или столбце) решать задачу вида (2) методом прогонки при фиксированом i2(или i1), то для отыскания решения на всех строках (или столбцах), т.е. во всех узлах сетки, понадобится О(N1N2) арифметических действий. Основная идея большинства экономичных методов и состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению одномерных задач вида (2) вдоль строк и вдоль столбцов.

Наряду  с основными значениями искомой  сеточной  функции  y(x,t),  т.е.  с  y = yn и y` = yn+1 вводится промежуточное значение y = yn+½ , которое можно формально рассматривать как значение при t = tn+½ = tn+½  . Переход от слоя n на слой n+1 совершается в два этапа с шагами 0.5t .

yn+½ - yn = L1yn+½ + L2yn  + jn                                                              (3)

0.5t

yn+1 - yn+½  = L1yn+½ + L2yn+1 + jn                                     (4)

0.5t

Эти уравнения пишутся во всех внутренних узлах x = xi сетки vh и для всех t=th > 0.

Первая схема неявная по направлению х1 и явная по х2, вторая схема явная по х1 и неявная по х2. К уравнениям (3),(4) надо добавить начальные условия:

y(x,0) = U0(x)   ,    xÎvh                                                            (5)

и разностно краевые условия, например, в виде:

yn+1 = mn+1   при    i1=0, i2=N2                                 (6)

yn+½  = m      при     i1=0, i2=N1                                (7)

где m = 1 (mn+1 + mn) -  t  L2(mn+1 - mn)                                                                   (8)

 2                       4

Т.о. , разностная краевая задача (3)-(8) соответствует задаче (1). Остановимся на методе решения этой задачи. Пререпишем (3) и (4) в виде:

2 y - L1 y  =  F    ,   F = 2 y  + L2 y  + j

t                                  t                                        (9)

2y`  - L2 y` = F’  ,   F = 2 y + L1 y +  j

t                                  t

Введём обозначения:

xi = (i1h1 , i2h2)

F = Fi1,i2

y = yi1,i2

при этом, если в уравнении один из индексов фиксирован, то его не пишем. Тогда (9) можно записать в виде (2), т.е.:

1   yi1-1  -  2   1    +  1   yi1   +  1  yi1+1  =  - Fi1

h21                 h21      t              h21

i1 = 1,...,N1-1                                                                     (10)

y =m  при  i1 = 0,N1

1   y`i2-1  -  2   1    +  1   y`i2   +  1  y`i2+1  =  - Fi2

h22                  h22      t                h22

i2 = 1,...,N2-1                                                                     (11)

y` = m` при  i2 = 0,N2

Пусть задано у=уn. Тогда вычисляем  òF, затем методом прогонки вдоль строк i2=1,...,N2-1 решаем задачу (10) и определим y’ во всех узлах сетки wh, после чего вычисляем F и решаем задачу (11) вдоль столбцов i1=1,...,N1-1, определяя y`=yn+1. При переходе от слоя n+1 к слою n+2 процедура повторяется, т.е. происходит всё время чередование направлений.

Построение разностных схем

Для каждой области МДП - структуры построим консервативную разностную схему, учитывая при этом заданные условия.

Разобьём данную МДП - структуру на несколько областей следующим образом:

L                                     M            N

 y

K0

K1

x

I :    jk0,y  = Un

    t    . jk+½i-1,y  +  1  +       t        +         t        .  jk+½ij  -      t     . jk+½i+1y   =  Yij

2h*ihi                              2h*ihi+1         2h*i2hi                     2h*ihi+1

jk1,y = Un

где Yij = jkij  +  t (Lyjkij  +  f kij )

2

Ly = 1    jkij+1 - jkij   -  jkij - jkij-1

        r*j          rj+1                   rj

1	2	3	4