Исследования cогласованного фильтра

Цель работы - ознакомление с принципом действия согласованного фильтра и исследование его помехоустойчивости.

Задание по работе

1. Проработать теоретический материал по источникам [1,2] и данным методическим указаниям.

2. Изучить функциональную схему лабораторной установки.

3. Выполнить работу.

4. Ответить на контрольные вопросы.

Основные теоретические положения

Из теории оптимальных методов радиоприема известно, что в условиях действия гауссовской помехи типа белого шума оптимальный приемник должен вычислять интеграл вида

                                                                                    (1)

где N0 - односторонняя спектральная плотность шума ; Т - длительность сигнала; u(t) - принятый сигнал; s(t) - полезный сигнал;

Интеграл (1) можно рассматривать как меру взаимной корреляции принятого сигнала u(t)  и полезного сигнала s(t) сигналов. Чтобы осуществить реализацию выражения (1), используют корреляционный приемник. С другой стороны, интеграл (1) можно рассматривать как свертку сигнала u(t)  с импульсной характеристикой некоторого фильтра. В этом случае необходимо использовать согласованный фильтр.

Рассмотрим задачу синтеза оптимального фильтра в условиях действия аддитивной помехи.

Пусть принятый сигнал имеет вид

                                                                               (2)

где s(t) - полезный сигнал известной формы со спектральной плотностью Fs(jw); n(t)стационарный случайный процесс со спектральной плотностью мощности Fn(w).

Будем отыскивать оптимальный фильтр в классе линейных фильтров. Тогда сигнал на входе фильтра с учетом принципа суперпозиции можно представить как

                                                                   (3)

Найдем отношение р мощности полезного сигнала к мощности помехи на выходе фильтра в некоторый момент времени t0.

(4)

где K(jw) - комплексно-частная характеристика фильтра.

Соответственно в момент времени t0

                               (5)

Мощность помехи на выходе фильтра

(6)

В формулах (4) и (6) через Fs,вых(jw)  и Fn,вых(w) обозначены спектральная плотность полезного сигнала и спектральная плотность мощности помехи на выходе фильтра.

С учетом (5) и (6) выражение для р в момент времени t0 запишется как

                               (7)

Понятно, что чем больше величина р, тем выше помехоустойчивость приема. Поэтому определим фильтр, который обеспечивал бы на выходе максимальное соотношение сигнал/помеха.

Воспользуемся неравенством Буняковского - Шварца

(8)

справедливым для любых функций А(w) и В(w), для которых интегралы в (8) имеют смысл. Заметим, что неравенство (8) превращается в строгое равенство, если

                                                       (9)

где а- постоянная; В* (w) - функция, комплексно-сопряженная с функцией В(w). С учетом (8) можно записать

и, соответственно,

                                           (11)

С учетом (9) находим, что максимальное отношение сигнал/помеха

достигается при

                                           (12)

где Fs*(jw) - комплексно-сопряженный сигнал.

Таким образом фильтр с комплексно - частотной характеристикой, определяемой формулой (12), является наилучшим в классе линейных фильтров, а при гауссовских помехах также наилучшим образцом и в классе нелинейных фильтров.

Из выражения (12) следует, что коэффициент передачи фильтра зависит от отношения спектральной плотности сигнала к спектральной плотности мощности помехи: коэффициент передачи тем больше, чем больше это отношение. Таким образом, оптимальный фильтр избирательно пропускает те или иные частотные составляющие. Очевидно, что отношение сигнал/помеха будет тем больше, чем сильнее отличается спектр сигнала от спектра помехи.

Рассмотрим случай, когда помеха представляет собой белый шум со спектральной плотностью мощности N0/2. В этом случае комплексно - частотная характеристика оптимального фильтра

(13)

а соотношение сигнал/помеха

(14)

где Е - энергия сигнала.

Фильтр с характеристикой (13), оптимальный для помехи типа белого шума называется согласованным.

Максимальное отношение сигнал/помеха (14) на выходе такого фильтра определяется только энергией сигнала и спектральной плотностью мощности помехи и не зависит от формы сигнала. По значению это отношение совпадает с максимальным отношением сигнал/ помеха на выходе корреляционного приемника. Отсюда, в частности, следует, что в условиях действия помехи типа белого шума помехоустойчивость корреляционного приемника и согласованного фильтра одинаковы.

Рассмотрим более подробно комплексно - частотную спектральную плотность полезного сигнала в виде

где |Fs(jw)| и j(w) - амплитудный и фазовый спектр сигнала соответственно.

Тогда

С другой стороны,

                                           (16)

где |K(jw)| - амплитудно-частотная характеристика фильтра; Y(w) - фазовая характеристика фильтра.

Сравнивая (15) и (16) находим

1	2	3