Основы дискретизации и восстановления сигналов по теореме Котельникова

1. Цель работы

Основной целью лабораторной работы является изучение основ дискретизации и восстановления сигналов по теореме Котельникова. Новая (очередная) базисная система {sin(x)/x} используется здесь для обработки не только видео-, но и радиосигналов.

2. Подготовка к лабораторной работе

2.1. Теорема Котельникова

Теорема Котельникова (теорема отсчетов) имеют следующею формулировку: если наивысшая частота в спектре функции S(t) меньше, чем fm, то функция S(t) полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более чем на ½fm секунд.

В соответствии с этой теоремой сигнал S(t), ограниченный по спектру наивысшей частотой wm=2pfm, можно представить рядом

. (1)

Этот ряд называется рядом Котельникова. В этом выражении ½fm = Dt обозначает интервал между двумя отсчетными точками на оси времени, а S(n/2fm) = S(nDt) – выборки функции S(t) в моменты времени t=nDt.

Исходя из (1), теорема Котельникова формулируется так: произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше fm , может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки Dt = ½fm.

Рисунок 2.1. - Структурная схема синтезатора

В приведенном на рисунке 2.1 алгоритме, роль базисных функций jn(t) выполняют функции отсчетов:

.

2.2. Расчет спектра Котельникова

Спектром Котельникова называется последовательность выборок S(nDt) на временной оси. Рассчитаем спектра Котельникова для заданного видеосигнала прямоугольной формы, с длительностью tu = 0,14 мс.

Интервал между двумя отсчетными точками на оси времени определяется соотношением Dt=½fm. В этом выражении граничную частоту спектра fm можно найти как fm=1/tu. Таким образом, получаем Dt:

Dt=½fm=0.075мс

Таким образом, мы получаем спектр Котельникова – дискретизованный сигнал, который включает в себя две составляющих. Континуальный и дискретизованный сигналы изображены на рисунке.2.2.

Рисунок 2.2. - Континуальный и дискретизованный сигналы.

3. Работа в компьютерной лаборатории и обработка результатов

3.1. Прямоугольные импульсы

Для прямоугольного сигнала устанавливаем длительность импульса tu=0,14мс, число отсчетов N=8 (на периоде) и частоту среза ФНЧ Fcp=4 кГц.

Рассмотрим амплитудно-частотную диаграмму (на рисунке 3.1). Спектр дискретизованного сигнала имеет периодический характер, подобно лепесткам в групповом спектре прямоугольного сигнала, только здесь амплитуда этих лепестков не убывает.

Спектр синтезированного сигнала содержит только один лепесток. Граничная частота в этом спектре определяется частотой среза ФНЧ фильтра, которая в данном случае равна 4 кГц. Спектральные составляющие, соответствующие этой и последующим частотам, не входят в ряд Котельникова и не участвуют в процессе синтеза сигнала, так как они отбрасываются фильтром. Следовательно, старшая составляющая дискретного линейчатого спектра соответствует частоте 3 кГц. Погрешность синтеза сигнала составляет 18,7%.

При изменении длительности дискретзирующих импульсов (то есть, когда они отличны от нуля), периодический спектр станет квазипериодическим, так как при этом включается множитель sin(x)/x.

Рисунок 3.1. - Исследование прямоугольного импульса

Далее, увеличим N и Fcp в 2 раза, то есть N =16 и Fcp =8 кГц. ФНЧ фильтр при этом начинает пропускать больше высокочастотных составляющих в ряд Котель-никова, поэтому колебания в восстанавливаемом сигнале становятся чаще. В частотном спектре восстанавливаемого сигнала появится еще один лепесток (толстые линии на спектре, рисунок 3.1), в который входят новые высокочастотные составляющие. Этот лепесток и совершает "вырез" сигнала в пике (см. рисунок 3.1). При этом абсолютная разность сигналов DS=|S(t)-SS(t)| уменьшается, что приводит к снижению погрешности. Погрешность синтеза в этом случае составляет 16,6%.

3.2. Импульсы треугольной формы

Рисунок 3.2. - Исследование треугольных импульсов

Выставляем в программе заданные параметры: tu=0,31 мс, N1=32, Fcp= N/2 = 16 кГц.

По аналогии с предыдущим пунктом, спектр дискретизованного сигнала имеет периодический характер. Увеличим число отсчетов N=40 и Fcp= N/2 = 20 кГц. Благодаря разнесению парциальных спектров увеличится граничная частота fm, лучше станет просматриваться форма спектра исходного треугольного импульса и улучшится качество синтеза. Результат исследования импульсов треугольной формы показан на рисунке 3.2. Иными словами, при увеличении числа отсчетов

N1 -> N2, сигнал лучше восстанавливается, уменьшается погрешность восстановления: и при

3.3. Пилообразные импульсы

Выставим максимально возможную длительность импульса tu= 1 мс. Наблюдения проводились при N=8, Fcp=4 кГц и при N=32, Fcp=16 кГц. Как и в предыдущих колебаниях, в пилообразном импульсе наблюдается периодический характер спектра (см. рис.3.3). Кроме того, в этом типе сигнала наблюдается выброс - дефект Гиббса. Аналогично гармоническому синтезу, этот выброс появляется в точках разрыва исходного сигнала. Непрерывные функции (в нашем случае sin(x)/x) не могут восстановить подобный сигнал с большой точностью.

Рисунок 3.3. - Исследование пилообразных импульсов

Найдем аналитическое выражение для спектра напряжения пилообразной формы. Исходный сигнал выглядит как S(t)=E(t/tu). Требуется найти S(nDt), то есть для t=nDt:

, где tu=NDt, а n - номер отсчета.

На основе сравнений с экспериментальными и теоретическими значениями S(t), можно сделать вывод о справедливости этой формулы.

3.4. Синусоидальное колебание

Установим частоту среза Fcp=Fcp min =1 кГц и минимальное число отсчетов на период N=Nmin=2. При этом интервал между отсчетными точками находится из соотношения ½fm = Dt, где частоте fm соответствует частота среза Fcp ФНЧ фильтра. Отсюда получаем Dt=0,5 мс. Отсчеты приходятся на моменты времени t=0 и t=Т/2=0,5. В этих точках сигнал S(t)=sin(x) равен нулю, поэтому ни дискретизации, ни восстановления сигнала не произойдет. При изменении фазы от p/6 до p/2, мы получим сигнал S(t)=cos(x). В точках t=0 и t=0,5 мс эта функция равна 1 (отлична от нуля), поэтому происходит восстановление cos(x).

1	2