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: 2/4

 

0 0 . . . 0 0 a12 a13 . . . a1M

a21 0 0 0 a23 . . . a2M

a31 a32 0 0 .

L = . U= .

. .

. aM-1M

aM1 aM2 . . . aMM-1 0 0 0

 

 

D - .

(k) (k) (k)

Yk = ( Y1 ,Y2 ... YM ) k- . :

 

( D + L )Yk+1 + UYk = f , k=0,1...

 

:

 

( D + L )(Yk+1 - Yk) +AYk = f , k=0,1...

 

, aii - , , , aij i<>j - . Yi fi , aii.

 

Š ՠ

 

 

Yi=Y(i) i. Y(i) . , Y(i) - . .

.

:

 

dU = f(x) , x > 0

dx

 

:

 

Yi+1 - Yi = f(xi) , xi = ih, i=0,1...

h

 

Yi+1=Yi+hf(x), h - v={xi=ih, i=0,1,2...}. Yi=Y(i).

 

2

d U = f(x)

2

dx

 

:

 

2

Yi+1 - 2Yi + Yi+1 = yi , yi=h f i

fi = f(xi)

xi = ih

 

a U, U, U . .

Uij = U(i,j) .

 

Uxx + Uyy = f(x,y)

 

W :

 

Ui-1j - 2Uij+Ui+1j + Uij-1 - 2Uij+Uij+1 = fij

2 2

hx hy

 

hx - X

hy - Y

:

 

N

CijUj = fi i=0,1...N

j=0

 

U0, U1 ... UN . N .

i - , .. i = (i1 ... ip) :

 

 

ijUj =fi i Î W

jÎW

 

W. ij i, .

.. .

 

U=U(x,y)

 

y

M b

M-1

 

 

Uij j

j

 

 

 

 

1

0 1 2 i N-1 N=a x

i

G W . W Uij=U(xi,yj) ,

xi=x0+ihx

yi=y0+jhy

hx = a/N ,

hy = b/M ..

x0=y0

xi=ihx, yi=jhy, i=0...N

j=0...M

 

2

DU = f

 

(. ).

 

 

Uxij = Ui+1j - Uij , Uxi-1j = Uij - Ui-1j

hx hx

 

Uxxij = Ui-1j - 2Uij + Ui+1j

hx

 

Uxxxxij :

 

Uxxi-1j - Uxxij - Uxxij - Uxxi+1j

Uxxxxij = hx hx = Ui-2j - 4Ui-1j + 6Uij - 4Ui+1j + Ui+2j

4

hx hx

y :

 

Uyyyyij = Uij-2 - 4Uij-1 + 6Uij - 4Uij+1 +Uij+2

4

hy

 

Uxxyy :

 

Uxxij-1 - Uxxij - Uxxij - Uxxij+1

(Uxx)yyij = hy hy = Uxxij-1 - 2Uxxij +Uxxij+1 =

2

hy hy

 

= Ui-1j-1 - 2Uij-1 + Ui+1j-1 - 2 Ui-1j - 2Uij + Ui+1j + Ui-1j-1 - 2Uij+1 + Ui+1j+1

2 2 2 2 2 2

hxhy hxhy hxhy

 

DU = f

:

 

Ui-2j - 4Ui-1j + 6Uij - 4Ui+1j +Ui+2j +

4

hx

 

+ 2 Ui-1j-1 - 2Uij-1 + Ui+1j-1 - 4 Ui-1j - 2Uij +Ui+1j + 2 Ui-1j+1 -2Uij+1 + Ui+1j+1 +

2 2 2 2 2 2

hxhy hxhy hxhy

 

+ Uij-2 - 4Uij-1 + 6Uij - 4Uij+1 + Uij+2 = fij (*)

4

hy

 

i=1,2, ... N-1

j=1,2, ... M-1

. :

x=0 ~ i = 0

x=a ~ xN=a

y=0 ~ Yo=0

y=b ~ YM=b